Regularidades en geometría

1. SUMA DE ÁNGULOS INTERIORES DE UN TRIÁNGULO.

Observa la siguente figura.
A la izquierda aparece un triángulo con la medida de sus tres ángulos interiores.
A la derecha se han colocado los ángulos uno a continuación del otro.
Verifícalo moviendo los vértices del triángulo.

¿Qué observas con respecto a la suma de los tres ángulos?
Mueve los vértices y verifica si tu conjetura se cumple para cualquier tipo de triángulo.

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2. SUMA DE ÁNGULOS INTERIORES DE UN CUADRILÁTERO.

¿Y qué ocurre con la suma de los ángulos interiores de los cuadriláteros?
Investiga con la figura y dedúcelo tu mismo.

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3. SUMA DE ÁNGULOS INTERIORES DE UN PENTÁGONO.

Siguiendo el razonamiento anterior deduce cuanto suman los angulos interiores de un pentágono.

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4. GENERALIZANDO

Encuentra una fórmula general que te permita calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono cualquiera si se sabe cuantos lados tiene.
Por ejemplo: ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un polígono de 12 lados?

Escribe un comentario con lo que has descubierto. Y poné tu nombre y grupo porque este comentario se califica!!

CÁLCULO ALGEBRAICO

Hemos visto en las actividades anteriores que para representar diversas situaciones en las que los números varían o simplemente se desconoce su valor, se utilizan letras.

Hemos descubierto fórmulas combinando letras con números mediante las operaciones conocidas, en las que las letras representan números que hay que calcular (incógnitas) o números que pueden tomar muchos valores (variables).

Este tipo de expresiones se llaman expresiones algebráicas o expresiones literales.

Ahora veremos cómo se realizan los cálculos cuando trabajamos con expresiones algebráicas. Es decir, cómo se realizan las operaciones que conocemos cuando trabajamos con expresiones algebráicas y no solamente con números.

Previamente debemos conocer algunos “nombres” que se usan con frecuencia. Lee la hoja que sigue y realiza las actividades planteadas.
monomios

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PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
En este momento es fundamental que repases la propiedad distributiva. Se utiliza con bastante frecuencia en el cálculo algebráico.


O también podemos escribirla de esta manera:

Porque la multiplicación cumple con la propiedad conmutativa, aquella que dice que el orden de los factores no altera el producto, la recuerdas?




Observa cómo se usa esta propiedad para SUMAR o RESTAR monomios semejantes.


Recuerda que solamente se pueden sumar o restar monomios que sean semejantes. Porque, justamente, al tener idéntica parte literal, es posible tomarla como factor común.




Para multiplicar monomios no es necesario que sean semejantes. La multiplicación se puede hacer siempre.
Es importante que recuerdes las propiedades de la multiplicación de potencias de la misma base.





LA PROPIEDAD DISTRIBUTIVA AMPLIADA.
Observa ahora esta situación:
Nuestro rectángulo está partido en cuatro. Mueve los puntos rojos y observa las expresiones escritas abajo de la figura.

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¿Cómo escribirías con símbolos esta propiedad?

Problema del escrito RESUELTO

PROBLEMA.

Observa la secuencia de figuras construídas con palitos de la misma longitud.


a) Dibuja las dos figuras que siguen.
b) ¿Cuántos palitos se precisan para construirlas? A cada una, porsupu.
c) ¿Cuántos palitos se necesitan para construir la figura que ocupa el lugar N° 10?
d) ¿Y para construir la figura N° 123?
e) Escribe con palabras una regla que te permita calcular el número de palitos si se conoce el número de la figura.
-------------------- o ----------------------

A continuación les muestro algunas soluciones que realizaron los estudiantes.
Están muy buenas. ¡Felicitaciones!


PRIMERA SOLUCIÓN




SEGUNDA FORMA DE RESOLVERLO

Problema resuelto

CUADRADOS Y PALITOS


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Observa la secuencia de figuras que aparece abajo.


1) Dibuja las dos figuras que siguen en la secuencia.

2) Calcula la cantidad de palitos que se necesitan para dibujar la figura N° 10

3) Observando alguna regularidad, calcula los palitos necesarios para dibujar la figura que ocuupa el lugar 100 de esa secuencia.

4)Si le llamamos n al número de figura, escribe una fórmula que permita calcular los palitos en función de n.

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SOLUCIONES POSIBLES

Las forma en que contaron los palitos determinó dos soluciones distintas pero que resultaron ser dos formas distintas de escribir la misma fórmula. Observa...

En la figura que aparecen abajo, arrastra el deslizador y fíjate cómo sigue la secuencia.

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Este compañero, contó de la siguiente manera:

Cuatro palitos para la primera figura y luego agregó tres palitos para cada una de las figuras siguientes.

Mueve el deslizador para confirmarlo. Se han pintado de distinto color los palitos que se van agregando figura a figura.

Observa si existe alguna relación entre la cantidad que se suma 3 y el número de la figura en cada caso. Para verlo más claro, es conveniente completar una tabla como la que sigue. Recuerda dejar planteadas las operaciones.


¡¡¡La cantidad de veces que se suma 3 es uno menos que el número de la figura!!!

Es decir que:

Cant. de palitos = 4 + 3.(número de figura menos 1)

Si le llamamos n al número de figura y p a la cantidad de palitos, entonces, a 4 hay que sumarle (n - 1) veces 3.
La fórmula en este caso es:


OTRA FORMA DE CONTAR PALITOS
Que dio lugar a otra fórmula. Observa...

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Este compañero propone contar los palitos así:

Tres palitos para cada figura más un palito al final para cerrar.

Con lo que la fórmula en este caso queda:

Descubriendo regularidades.

REPARTIDO DE PROBLEMAS N°2
Les dejo, abajo, tres problemas que resolverán en clase esta semana.
También los dejo en la fotocopiadora. Para imprimirlo directo del blog hagan clic en el botón que dice "MORE" y buscan la opción para imprimir.


generalizacion1

En la entrada Matemática Segundo año: Problema resuelto está resuelto el problema N°1.